Обязан ли работник осуществлять уход за выданными средствами индивидуальной защиты, например, стирать, ушивать и т.п.?

Нет, не обязан.

В соответствии с п. 67 Правил обеспечения работников СИЗ и смывающими средствами, утв. приказом Минтруда России от 29.10.2021 № 766н работодатель обязан обеспечивать уход (обслуживание) за СИЗ, включая дежурные СИЗ, в том числе своевременную химчистку, стирку, дегазацию, дезактивацию, дезинфекцию, дезинсекцию, обезвреживание, обеспыливание, сушку, а также ремонт и замену СИЗ, утративших необходимые защитные свойства.

Таким образом, обязанность по уходу за средствами индивидуальной защиты лежит на работодателе, а не на работнике.